牛顿迭代法

Sat, 08 Apr 2006 19:45:26 GMT

我不知道大家对数学的题目有没有兴趣，但是我觉得有些东西很有意思。而且谈论这些东西的时候可以练习数学方面的汉字。

我本科生第二年的时候（现在已经7年以前。我很老 :( ）上了一门对我有很大的影响的微积分课。有一天老师讲牛顿迭代法。大家知道计算器算数吗？里面有什么逻辑吗？比方说打平方根键的时候它怎么得到答案？一个方法是用牛顿迭代法来解决x^2-a = 0。（‘a’是你想找到它有什么平方根）牛顿迭代法的基础是另外一个东西叫泰勒级数。泰勒级数可以用在点处的函数和它的n阶导数来代表原来的函数。牛顿迭代法只用在点处的函数和它的第一个导数来接近原来的函数。在上面的例子，函数就是x^2-1=0（因为我们想找到1的平方根-很容易啊！）。所以泰勒级数就是：

f(x+e)=f(x0)+f'(x0)e

我们想找到正好的根，所以让f(x+e)等于0，还有x^2-1的导数是2x。然后解决e是什么：

e=-f(x0)/f'(x0)=-(x0^2-1)/2x0

然后x0（我们估计的根）加e就与真正的平方根更接近！重复这个程序就可以得到你的答案。

大家还读到这儿吗？上面挺无聊的，你们可能已经学过。但是牛顿迭代法有一个很有意思的特点。它的答案依赖第一个估计的x0。而且如果你试着很多不同的第一个估计的x0，然后根据答案让这个点处不同的颜色，就可以画很漂亮的画。

我们在那个微积分课学到牛顿迭代送代法的时候老师告诉我们这件事。所以回宿舍以后我编软件画这种画，然后放在我的网页上，而且把链接给我的老师。第二天的课他给同学们看我的软件。而且那个学期我的考试成绩不太好，但是在最后还得到a分。

最近我发现我的电脑里还有这个软件。你们可以在这儿用我的软件来画自己的画。而且下面的画是我软件做的。这种画叫做分形。它的特点是可以一直变焦但是它的复杂性无限。我的软件解决1的平方根。我提醒大家这个问题有四个答案：1,- 1,i,-i。下面的画的水平轴有实数，纵轴有复数。在根之间有很多颜色因为第一个估计的微小差别让牛顿迭代法算不同的答案。

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